SOBATIKA: Maret 2023

Selasa, 28 Maret 2023

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Hallo sobat matematika, pada blog ini kita akan membahas materi tentang integral fungsi rasional. Nah,,, sobat matematika sudah tahu belum integral fungsi rasional??? Untuk lebih jelasnya yukk kita bahas bareng bareng!!!!!!

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk $f\left ( x \right )= \frac{f(x)}{g(x)}$ , dimana 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan 𝑔(𝑥) ≠ 0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan $f(x)= a0+a1+ a2x^{2}+ a3x^{3}+ anx^{n}, n= 1, 2, 3,...$ , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh:

$1. f(x)= \frac{1-x}{x^{2}-3x+2}$
(Fungsi Rasional Sejati)

$2. f(x)= \frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}$

(Fungsi Rasional Tidak Sejati)

$3. f(x)= \frac{x^{5}-2x^{3}-x+1}{x^{3}+ 5x}$

(Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati.

LANGKAH- LANGKAH DALAM MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI RASIONAL:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati,

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional $f\left ( x \right )= \frac{f(x)}{g(x)}$ sampai tidak dapat difaktorkan lagi,

3. Dalam hal langkah nomor 2 diatas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b).....(x-t)
fungsi linear berulang, $g(x)= (x-a)^{n}= (x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)$
fungsi linear dan kuadrat, g(x) = (x - a) (ax2 + bx + c)
fungsi kuadrat berbeda, g(x) = ( ax2 + bx + c) ( px2 + qx + c)
fungsi kuadrat berulang, g(x) = $g(x)= (ax^{2}+ bx + c)^{n}$ dan seterusnya

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan anti turunannya.

Misal:

$\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A1}{(ax1 + bx1)}+ \frac{A2}{(ax2 + b2)}+ ...$

( Penyebut kombinasi linear berbeda)

$\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A1}{(ax + b)}+ \frac{A2}{(ax + b)^{2}}+ \frac{A3}{(ax+ b)^{3}}+...$

( kombinasi linear berulang )

$\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A1x + B1}{(a1x + b1x + c1)}+ \frac{A2x + B2}{(a2x + b2x+ c2)}+ ...$

(kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2, …An dan B1, B2, …Bn.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN:

$1. \int \frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}dx$

Jawab:

$\int \frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}dx = \int \frac{A}{(1-2x)}+ \frac{B}{(3-x)}dx= \int \frac{A(3-x)+ B(1+2x)}{(1+2x)(3-x)}dx$

$=\int\frac{3A-Ax+B+2Bx}{(1+2x)(3-x)}dx= \int \frac{(2B-A)x+ (3A+B)}{(1+2x)(3-x)}dx$

Diperoleh: 2B - A = 1....(1)

B + 3A = 4....(2)

Sehingga:

$\int \frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}dx = \int \frac{1}{1+2x}+ \frac{1}{3-x}$

$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+2x} d(1+2x)+ (-1)\int \frac{1}{3-x}d(3-x)$

$= \frac{1}{2}ln(1+2x)-ln(3-x)+ C$

Nah ,, itulah sobat penjelasan materi dan contoh soal tentang integral fungsi rasional. Semoga sobat matematika bisa memahami materi ini dengan baik...

Selasa, 21 Maret 2023

INTEGRAL PARSIAL

Hallo sobat matematika, pada blog ini kita akan membahas materi tentang integral parsial. Nah,,, sobat matematika sudah tahu belum integral parsial???. Untuk lebih jelasnya yukk kita bahas bareng bareng!!!!!!

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integralnya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u= f(x) dan v = g(x) karena y= uv , maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y= uv diperoleh:

dy= d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing masing bagian tersebut diperoleh:

$\int d(uv)=\int udv +\int vdu$

$\Rightarrow \int udv =\int d(uv) - \int vdu$

$\Rightarrow \int udv =uv - \int vdu$

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dibagi menjadi dua bagian, yaitu satu bagian fungsi (u) dan bagian lain ( yang mengandung dx) diganti menjadi fungsi (dv). oleh karena itu, rumus ini disebut sebagai integral bagian atau integral parsial.

Untuk memudahkan kita menentukan fungsi u dan dv, kita pilih fungsi u yang jika di turunkan akan mendekati nol dan bentuk dv yang mudah kita integralkan.

Contoh:

1. Tentukan hasil dari $\int x \sqrt{x} dx$

Pembahasan:

Misalkan u= x dv= $\sqrt{x} dx$

du= dx $v= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$\Rightarrow \int udv =uv - \int vdu$

$\Rightarrow x\left ( \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right ) -\int \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} dx$

$\Rightarrow \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}\int x^{\frac{3}{2}}dx$

$\Rightarrow \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}\left ( \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}\right )+ C$

$\Rightarrow \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}}- \frac{4}{15}x^{\frac{5}{2}}+ C$

$\Rightarrow \frac{10}{15} x^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{15}x^{\frac{5}{2}}+ C$

$\Rightarrow \frac{6}{15}x^{\frac{5}{2}}+ C$

$\Rightarrow \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+ C$

Nah itulah sobat pembahasan materi mengenai intgeral parsial, semoga pada blog ini sobat dapat memahami materi ini yaa,, Terima kasih

Rabu, 15 Maret 2023

TEKNIK SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Hallo sobat matematika, pada blog ini kita akan membahas materi tentang teknik substitusi pengintegralan fungsi trigonometri . Nah,,, sobat matematika sudah tahu belum bahwa integral fungsi trigonometri bisa diselesaikan dengan menggunakan teknik substitusi. Untuk lebih jelasnya yukk kita bahas bareng bareng!!!!!!

Bentuk akar dalam integral menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral. Nah dengan teknik substitusi ini dapat membantu kita menyelesaikan bentuk akar pada integral. Namun sebelum itu, sobat matematika harus mengingat kembali materi tentang identitas trigonometri dan invers trigonometri. Berikut identitas trigonometri dan invers trigonometri.

IDENTITAS TRIGONOMETRI

INVERS TRIGONOMETRI

Teknik substitusi fungsi integral ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integralnya memuat bentuk - bentuk berikut:

a. Bentuk $\sqrt{a^{2}- x^{2}}$ , substitusi x= a sin t, dengan -π/2 ≤ t ≤ π/2

b. Bentuk $\sqrt{a^{2}+ x^{2}}$ , substitusi x= a tan x, dengan -π/2 ≤ t ≤ π/2

c. Bentuk $\sqrt{x^{2}- a^{2}}$ , substitusi x= a sec t, dengan 0 ≤ t < π/2 ; (x ≥ a) dan π/2 ≤ t ≤ π ; (x ≤ -a)

Dari substitusi tersebut kita dapatkan hasil berikut:

a. $\sqrt{a^{2}- x^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}- ((a) sin (t))^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}(1-sin^2t)}$ = a cos t

b. $\sqrt{a^{2}+ x^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+ ((a) tan (t))^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}(1+tan ^2t)}$ = a sec t

c. $\sqrt{x^{2}- a^{2}}$ = $\sqrt{((a)sec (t))^{2}- a^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}sec^2t-a^2}$ = a tan t

Agar sobat lebih memahami tentang teknik substitusi pada fungsi trigonometri ini, yuk kita bahas bareng bareng contoh soal dan pembahasanya!!!

CONTOH:

Nah itulah sobat pembahasan materi mengenai teknik substitusi pada fungsi trigonometri. Semoga sobat matematika bisa memahami materi ini dengan baik yah dan semangat belajarnya....

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a \cos t

\sqrt{}

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a \cos t

\sqrt{2 - �^{2}} = � \cos �π/2 ≤ t ≥ π/2

SOBATIKA

Label