SOBATIKA: Mei 2023

Kamis, 18 Mei 2023

INTEGRAL TAK WAJAR

Hallo sobat matematika, pada blog ini kita akan membahas materi tentang Integral Tak Wajar. Sobat matematika tahu tidak bahwa tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus lohh. Nah,, Untuk memperjelas dan memperdalam pemahaman kita mengenai materi ini ,Yuk kita bahas bareng- bareng!!

Pada dasarnya integral tak wajar merupakan semua integral yang tidak dapat diselesaikan dengan Teorema dasar kalkulus yaitu:

$\int_{a}^{b}(fx)dx= F(b)-F(a)$

Persoalan-persoalan integral seperti inilah yang dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk $\int_{a}^{b}f(x)dx$ disebut integral tak wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

contoh:

$\int_{0}^{4}\frac{dx}{4-x}$

,f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)

$\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}$

, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

$\int_{0}^{4}\frac{dx}{(2-x)^{\frac{2}{3}}}$

, f(x) tidak kontinu di x = 2 $\epsilon$ [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2) $\cup$ (2,4]

b. Batas integralnya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

contoh:

$\int_{0}^{\propto }\frac{dx}{x^{2}+4}$

, integran f(x) memuat batas atas di x = $\propto$

$\int_{-\propto }^{0} e^{2x}dx$

, integran f(x) memuat batas bawah di x = - $\propto$

$\int_{-\propto }^{\propto } \frac{dx}{1+4x^{2}}$

, integran f(x) memuat batas atas di x = $\propto$ dan batas bawah di x = - $\propto$

Jadi, Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu (diskontinu) dan Integral tak wajar dengan batas integrasl di tak hingga

A. Integral tak wajar dengan integran diskontinu

1. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di $x= b-\varepsilon (\varepsilon\to 0^{+} )$ , sehingga:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{ \varepsilon \to 0^{+}}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx$

Karena batas atas $x= b-\varepsilon (x \to b^{-} )$ , maka:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{ t \to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx$

2. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di $x= a+\varepsilon (\varepsilon \to 0^+)$ , sehingga

$\int_{a}^{b}f(x)dx= \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$

Karena batas bawah $x= a+\varepsilon (x \to a^-)$ ,maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

$\int_{a}^{b}f(x)dx= \displaystyle \lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx$

3. f(x) kontinu di [a,c) $\cup$ (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di $x= c+ \varepsilon$ dan $x= c-\varepsilon (\varepsilon \to 0^+)$ , sehingga:

$\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx = \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{a}^{c-\varepsilon }f(x)dx + \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{c-\varepsilon }^{b}f(x)$

Dapat juga dinyatakan dengan:

$\int_{a}^{b}f(x)dx= \displaystyle \lim_{t \to b^-}\int_{a}^{t }f(x)dx + \displaystyle \lim_{t \to a^-}\int_{t }^{b}f(x)dx$

B. Integral tak wajar dengan batas tak hingga

1. Intergral tak wajar dengan batas atas x = $\propto$ .

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk:

$\int_{a}^{\propto }f(x)dx= \displaystyle \lim_{t \to \propto }\int_{a}^{t}f(x)dx$

2. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - $\propto$

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

$\int_{-\propto }^{a}f(x)dx= \displaystyle \lim_{t \to -\propto }\int_{t}^{a}f(x)dx$

3. Integral tak wajar batas atas x = $\propto$ dan batas bawah di x = - $\propto$

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan $\int_{-\propto }^{\propto }f(x)dx= \int_{-\propto }^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\propto }f(x)dx$ , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

$\int_{-\propto }^{\propto }f(x)dx= \int_{-\propto }^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\propto }f(x)dx = \displaystyle \lim_{t \to -\propto }\int_{t}^{a}f(x)dx + \displaystyle \lim_{t \to \propto }\int_{a}^{t}f(x)dx$

Nah, itulah sobat matematika penjelasan materi integral tak wajar . pada materi ini sobat sudah tahuu kan bahwa tidak semua integral dapat diselesaikan menggunakan teorema dasar kalkulus ???? semoga sobat matematika dapat memahami materi ini dengan baik yahhh, selamat belajar....

Jumat, 12 Mei 2023

VOLUME BENDA PUTAR

Hallo sobat matematika, pada blog ini kita akan membahas materi tentang Volume Bidang Datar. Untuk memperdalam pemahaman kita mengenai materi ini Yuk, kita bahas bareng- bareng!!

Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar . Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi , yakni:

Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu- dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah A(x) dengan $a\leq x\leq b$ Kita partisikan interval [a, b] dengan menyisipkan titik- titik $a= x_{0}< x_{1}< x_{2}< ...< x_{i}= b$ . Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x , sehingga mengiris benda menjadi lempengan- lempengan tipis (Gambar 3). Volume suatu silinder, yaitu:

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

$V= \int_{a}^{b}A(x)dx$

a. Pemutaran mengelilingi sumbu x

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y= f(x), x= a, x= b. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadik lempengan-lempengan. Volume $\Delta V$ suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

$\Delta V_{i}=A(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

$V\approx \sum_{i=1}^{n}A(\overline{x_{i}})\Delta x_{i}$

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu y1= f(x), y2= g(x), x= a, x= b . Dengan y1 lebih besar sam dengan y2. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu- x, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

b. Pemutaran mengelilingi sumbu

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x= f(y), y= c, y= d . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y . Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu x1= f(y), x2= g(y), y= c, y= d . Dengan x1 lebih besar sama dengan x2 . Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y , maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

$V= \pi \int_{c}^{d}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})dy$

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [a,b], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

$V= \int_{a}^{b}A(x)dx$

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu

1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y= f(x), y= 0, x= 1, dan x= b,diputar terhadap sumbu- x. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b] .

Misal pusat cakram (x0, 0) dan jari-jari r=f(x0) . Maka luas cakram dinyatakan :

$A(x_{0})= \pi (f(x_{0})^{2})= \pi f^{2}(x_{0})$

Oleh karena itu, volume benda putar :

$V = \int_{a}^{b}\pi (f(x)^{2})dx= \pi\int_{a}^{b} (f(x)^{2})dx$

Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan x= g(x), x= 0, y= c, y= d diputar mengelilingi sumbu-y , maka volume benda putar :

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut:

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut:

$V = \pi (R^{2}-r^{2})t$

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x) seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

$V = \pi \int_{a}^{b}[R(x)^{2}-(r(x)^{2}]dx$

3. Metode Kulit Silinder

Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2, tinggi tabung h . Maka volume kulit tabung adalah :

$\Delta V= (\pi r_{2}+\pi r_{1})h= 2\pi r\Delta r$

dengan : $\frac{r_{2}+r_{1}}{2}= r(rata-rata, jari- jari);r_{2}+r_{1}=\Delta r$

Bila daerah yang dibatasi oleh y= f(x), y= 0, x= a, x= b diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r= x dan $\Delta r= \Delta x$ dan tinggi tabung h= f(x) . Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah:

$V= \int_{a}^{b}2\pi x(f(x))dx$

Misal daerah dibatasi oleh kurva $y= f(x), y=g(x), f(x)\geq g(x),x \epsilon [a,b]$ ,x= a dan x= b diputar mengelilingi sumbu-y . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$V= \int_{a}^{b}2\pi x(f(x)-g(x))dx$

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x= f(y), x= 0, y= c, y= d diputar mengelilingi sumbu-x . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$V= \int_{c}^{d}2\pi y(f(y))dy$

Sedangkan untuk daerah yang dibatasi oleh $x= f(y), x=g(y), f(y)\geq g(y),y \epsilon [c,d]$ , y= c, dan y= d diputar mengelilingi sumbu-x . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$V= \int_{c}^{d}2\pi y(f(y)-g(y))dy$

Nah itulah sobat matematika pembahasan materi mengenai volume benda putar , semoga sobat dapat memahami materi ini dengan baik yaaa

SOBATIKA

Label